MatematikawanAmerikaItaliaGeometer Diferensial

Eugenio Calabi

Eugenio Calabi, an Italian-born American mathematician, made profound contributions to differential geometry and partial differential equations, notably the Calabi conjecture and Calabi-Yau manifolds.

1. Overview

Eugenio Calabi (Eugenio CalabiEugenio CalabiBahasa Italia; 11 Mei 1923 - 25 September 2023) adalah seorang matematikawan Amerika Serikat kelahiran Italia yang memberikan kontribusi mendalam pada bidang geometri diferensial, persamaan diferensial parsial, dan penerapannya. Ia dikenal sebagai Thomas A. Scott Professor of Mathematics di Universitas Pennsylvania. Kehidupan awal Calabi ditandai oleh tantangan signifikan, termasuk emigrasi paksa keluarganya dari Italia ke Amerika Serikat pada tahun 1939 karena undang-undang rasial yang diskriminatif, sebuah peristiwa yang menyoroti dampak kebijakan represif terhadap individu dan keluarga.

Calabi memulai perjalanan akademisnya di Massachusetts Institute of Technology (MIT) pada usia 16 tahun, meskipun studinya terganggu oleh dinas militer selama Perang Dunia II. Setelah perang, ia menyelesaikan pendidikannya, meraih gelar sarjana, master, dan doktor dari institusi-institusi bergengsi. Sepanjang karirnya, Calabi memegang posisi profesor di beberapa universitas terkemuka dan menerima berbagai penghargaan atas pencapaiannya yang luar biasa. Kontribusi matematisnya yang paling terkenal meliputi perumusan dugaan Calabi dan pengenalan metrik Calabi-Yau, yang memiliki implikasi signifikan dalam teori string. Warisan intelektualnya terus mempengaruhi penelitian di bidang matematika dan fisika teoretis.

2. Early life and education

Kehidupan awal Eugenio Calabi ditandai oleh latar belakang keluarga yang kaya dan tantangan yang signifikan yang muncul dari iklim politik Eropa pada pertengahan abad ke-20.

2.1. Birth and Family

Eugenio Calabi lahir di Milan, Italia, pada tanggal 11 Mei 1923, dari sebuah keluarga Yahudi. Ia memiliki seorang saudara perempuan, Tullia Zevi, yang kemudian menjadi seorang jurnalis terkemuka.

2.2. Emigration due to Racial Laws

Pada tahun 1938, keluarga Calabi terpaksa meninggalkan Italia karena undang-undang rasial Italia yang diskriminatif yang diberlakukan oleh rezim fasis. Mereka tiba di Amerika Serikat pada tahun 1939, mencari perlindungan dari penganiayaan. Peristiwa ini merupakan titik balik yang traumatis dalam kehidupan Calabi, yang menyoroti dampak kejam dari kebijakan anti-Semit pada individu dan keluarga yang tidak bersalah.

2.3. Education

Pada musim gugur tahun 1939, pada usia 16 tahun, Calabi mendaftar di Massachusetts Institute of Technology (MIT) untuk belajar teknik kimia. Namun, studinya terhenti pada tahun 1943 ketika ia direkrut menjadi militer Amerika Serikat dan bertugas selama Perang Dunia II. Setelah diberhentikan pada tahun 1946, Calabi dapat menyelesaikan gelar sarjananya di bawah G.I. Bill dan menjadi Putnam Fellow, sebuah kehormatan yang diberikan kepada peserta berprestasi dalam Kompetisi Matematika William Lowell Putnam.

Ia kemudian meraih gelar master dalam matematika dari Universitas Illinois Urbana-Champaign pada tahun 1947. Pada tahun 1950, ia memperoleh gelar PhD dalam matematika dari Universitas Princeton. Disertasi doktoralnya, yang berjudul "Isometric complex analytic imbedding of Kähler manifolds", dibimbing oleh Salomon Bochner, seorang matematikawan terkenal.

3. Academic career

Karir akademis Calabi membentang beberapa dekade, di mana ia memegang berbagai posisi profesor dan memberikan kontribusi signifikan pada institusi-institusi terkemuka.

3.1. Professorships and Affiliations

Dari tahun 1951 hingga 1955, Calabi menjabat sebagai asisten profesor di Louisiana State University. Pada tahun 1955, ia pindah ke University of Minnesota, di mana ia diangkat menjadi profesor penuh pada tahun 1960. Pada tahun 1964, Calabi bergabung dengan fakultas matematika di Universitas Pennsylvania. Setelah pensiunnya Hans Rademacher, Calabi diangkat menjadi Thomas A. Scott Professor of Mathematics di Universitas Pennsylvania pada tahun 1968. Pada tahun 1994, Calabi mendapatkan status emeritus, dan pada tahun 2014, universitas tersebut menganugerahkan kepadanya gelar doktor kehormatan sains sebagai pengakuan atas kontribusinya yang luar biasa.

4. Awards and Recognition

Sepanjang karir akademisnya, Eugenio Calabi menerima berbagai penghargaan dan kehormatan yang mengakui kecemerlangan dan kontribusinya yang mendalam di bidang matematika.

4.1. Major Awards and Honors

Calabi adalah seorang Putnam Fellow, sebuah pengakuan awal atas bakat matematisnya. Pada tahun 1982, ia terpilih menjadi anggota National Academy of Sciences, salah satu masyarakat ilmiah paling bergengsi di Amerika Serikat.

Pada tahun 1991, ia dianugerahi Leroy P. Steele Prize oleh American Mathematical Society. Penghargaan ini diberikan atas "karyanya yang fundamental dalam geometri diferensial global, terutama geometri diferensial kompleks," yang disebutkan telah "secara mendalam mengubah lanskap bidang tersebut." Pada tahun 2012, ia diangkat menjadi Fellow of the American Mathematical Society. Sebagai pengakuan atas warisan dan hubungannya dengan negara asalnya, pada tahun 2021, ia dianugerahi gelar Commander of the Order of Merit of the Italian Republic.

5. Mathematical Contributions

Eugenio Calabi memberikan banyak kontribusi penting pada bidang geometri diferensial. Kontribusi lainnya, yang tidak dibahas secara rinci di sini, termasuk konstruksi versi holomorfik dari garis panjang dengan Maxwell Rosenlicht, studi tentang ruang moduli bentuk ruang, karakterisasi kapan suatu metrik dapat ditemukan sehingga suatu bentuk diferensial tertentu bersifat harmonik, dan berbagai karya tentang geometri afin. Dalam komentar tentang kumpulan karyanya pada tahun 2021, Calabi menyebut artikelnya "Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jörgens" sebagai karya yang paling ia banggakan.

5.1. Kähler Geometry

Pada International Congress of Mathematicians tahun 1954, Calabi mengumumkan sebuah teorema tentang bagaimana kelengkungan Ricci dari metrik Kähler dapat ditentukan. Ia kemudian menemukan bahwa buktinya, melalui metode keberlanjutan, cacat, dan hasilnya kemudian dikenal sebagai dugaan Calabi. Pada tahun 1957, Calabi menerbitkan sebuah makalah di mana dugaan tersebut dinyatakan sebagai proposisi, tetapi dengan bukti yang secara terbuka tidak lengkap. Ia memberikan bukti lengkap bahwa setiap solusi dari masalah tersebut harus didefinisikan secara unik, tetapi hanya mampu mereduksi masalah keberadaan ke masalah penetapan *a priori estimates* untuk persamaan diferensial parsial tertentu. Pada tahun 1970-an, Shing-Tung Yau mulai mengerjakan dugaan Calabi, awalnya mencoba menyangkalnya. Setelah beberapa tahun bekerja, ia menemukan bukti dugaan tersebut, dan mampu menetapkan beberapa konsekuensi geometri aljabar yang mencolok dari validitasnya. Sebagai kasus khusus dari dugaan tersebut, metrik Kähler dengan kelengkungan Ricci nol ditetapkan pada sejumlah manifold kompleks; ini sekarang dikenal sebagai metrik Calabi-Yau. Mereka menjadi signifikan dalam penelitian teori string sejak tahun 1980-an.

Pada tahun 1982, Calabi memperkenalkan aliran geometris, yang sekarang dikenal sebagai aliran Calabi, sebagai proposal untuk menemukan metrik Kähler dengan kelengkungan skalar konstan. Secara lebih luas, Calabi memperkenalkan gagasan metrik Kähler ekstremal, dan menetapkan (di antara hasil lainnya) bahwa mereka memberikan minima global yang ketat dari fungsional Calabi dan bahwa setiap metrik kelengkungan skalar konstan juga merupakan minimum global. Kemudian, Calabi dan Xiuxiong Chen melakukan studi ekstensif tentang metrik yang diperkenalkan oleh Toshiki Mabuchi, dan menunjukkan bahwa aliran Calabi mengkontraksi jarak Mabuchi antara dua metrik Kähler. Selanjutnya, mereka menunjukkan bahwa metrik Mabuchi memberikan ruang metrik Kähler dengan struktur ruang Alexandrov dari kelengkungan nonpositif. Kesulitan teknis dari pekerjaan mereka adalah bahwa geodesik dalam konteks dimensi tak terbatas mereka mungkin memiliki diferensiabilitas yang rendah.

Sebuah konstruksi Calabi yang terkenal menempatkan metrik Kähler lengkap pada ruang total bundel vektor hermitian yang kelengkungannya dibatasi di bawah. Dalam kasus di mana basisnya adalah manifold Kähler-Einstein lengkap dan bundel vektor memiliki peringkat satu dan kelengkungan konstan, seseorang memperoleh metrik Kähler-Einstein lengkap pada ruang total. Dalam kasus bundel kotangen dari bentuk ruang kompleks, seseorang memperoleh manifold Hyperkähler. Ruang Eguchi-Hanson adalah kasus khusus dari konstruksi Calabi.

5.2. Geometric Analysis

Calabi menemukan teorema perbandingan Laplacian dalam geometri Riemannian, yang menghubungkan operator Laplace-Beltrami, seperti yang diterapkan pada fungsi jarak Riemannian, dengan kelengkungan Ricci. Fungsi jarak Riemannian umumnya tidak dapat didiferensiasikan di mana-mana, yang menimbulkan kesulitan dalam merumuskan versi global dari teorema tersebut. Calabi menggunakan gagasan umum tentang ketidaksetaraan diferensial, mendahului solusi viskositas yang kemudian diperkenalkan oleh Michael G. Crandall dan Pierre-Louis Lions. Dengan memperluas prinsip maksimum kuat dari Eberhard Hopf ke gagasan solusi viskositasnya, Calabi mampu menggunakan teorema perbandingan Laplaciannya untuk memperluas hasil-hasil terbaru dari Joseph Keller dan Robert Osserman ke konteks Riemannian. Perluasan lebih lanjut, berdasarkan penggunaan yang berbeda dari prinsip maksimum, kemudian ditemukan oleh Shiu-Yuen Cheng dan Yau, di antara yang lainnya.

Sejajar dengan masalah Bernstein klasik untuk permukaan minimal, Calabi mempertimbangkan masalah analog untuk permukaan maksimal, menyelesaikan pertanyaan dalam dimensi rendah. Jawaban tanpa syarat ditemukan kemudian oleh Cheng dan Yau, menggunakan trik Calabi yang telah dipelopori Calabi untuk menghindari non-diferensiabilitas fungsi jarak Riemannian. Dalam pekerjaan analog, Calabi sebelumnya telah mempertimbangkan solusi cembung dari persamaan Monge-Ampère yang didefinisikan di seluruh ruang Euklides dan dengan 'sisi kanan' sama dengan satu. Konrad Jörgens sebelumnya telah mempelajari masalah ini untuk fungsi dua variabel, membuktikan bahwa setiap solusi adalah polinomial kuadrat. Dengan menafsirkan masalah tersebut sebagai masalah geometri afin, Calabi mampu menerapkan karya sebelumnya pada teorema perbandingan Laplacian untuk memperluas pekerjaan Jörgens ke beberapa dimensi yang lebih tinggi. Masalah tersebut sepenuhnya diselesaikan kemudian oleh Aleksei Pogorelov, dan hasilnya umumnya dikenal sebagai teorema Jörgens-Calabi-Pogorelov.

Kemudian, Calabi mempertimbangkan masalah hipersfer afin, pertama-tama mengkarakterisasi permukaan tersebut sebagai permukaan di mana transformasi Legendre memecahkan persamaan Monge-Ampère tertentu. Dengan mengadaptasi metode sebelumnya dalam memperluas teorema Jörgens, Calabi mampu mengklasifikasikan hipersfer elips afin lengkap. Hasil lebih lanjut kemudian diperoleh oleh Cheng dan Yau.

5.3. Differential Geometry

Calabi dan Beno Eckmann menemukan manifold Calabi-Eckmann pada tahun 1953. Manifold ini terkenal sebagai manifold kompleks terhubung sederhana yang tidak mengakui metrik Kähler apa pun.

Terinspirasi oleh karya terbaru Kunihiko Kodaira, Calabi dan Edoardo Vesentini mempertimbangkan kekakuan infinitesimal dari hasil bagi holomorfik kompak dari domain Cartan pada tahun 1960. Dengan menggunakan rumus Bochner dan pengembangan Kodaira tentang kohomologi berkas, mereka membuktikan kekakuan kasus dimensi yang lebih tinggi. Pekerjaan mereka memengaruhi karya George Mostow dan Grigori Margulis di kemudian hari, yang menetapkan hasil kekakuan global mereka dari upaya untuk memahami hasil kekakuan infinitesimal seperti Calabi dan Vesentini, bersama dengan karya-karya terkait oleh Atle Selberg dan André Weil.

Calabi dan Lawrence Markus mempertimbangkan masalah bentuk ruang dari kelengkungan positif dalam geometri Lorentzian pada tahun 1962. Hasil mereka, yang dianggap "sangat mengejutkan" oleh Joseph A. Wolf, menegaskan bahwa grup fundamental harus berhingga, dan bahwa grup isometri yang sesuai dari ruang-waktu de Sitter (di bawah kondisi orientabilitas) akan bertindak secara setia oleh isometri pada bola ekuatorial. Dengan demikian, masalah bentuk ruang mereka mereduksi ke masalah bentuk ruang Riemannian dari kelengkungan positif.

Karya John Nash pada tahun 1950-an mempertimbangkan masalah pembenaman isometrik. Karyanya menunjukkan bahwa pembenaman semacam itu sangat fleksibel dan dapat dideformasi. Dalam tesis PhD-nya, Calabi sebelumnya telah mempertimbangkan kasus khusus pembenaman isometrik holomorfik ke dalam bentuk ruang geometri kompleks pada tahun 1953. Sebuah hasil yang mencolok dari karyanya menunjukkan bahwa pembenaman semacam itu sepenuhnya ditentukan oleh geometri intrinsik dan kelengkungan bentuk ruang yang bersangkutan. Selain itu, ia mampu mempelajari masalah keberadaan melalui pengenalan fungsi diastatik, yang merupakan fungsi yang didefinisikan secara lokal yang dibangun dari potensial Kähler dan yang meniru fungsi jarak Riemannian. Calabi membuktikan bahwa pembenaman isometrik holomorfik harus mempertahankan fungsi diastatik. Sebagai konsekuensinya, ia mampu memperoleh kriteria untuk keberadaan lokal pembenaman isometrik holomorfik.

Kemudian, Calabi mempelajari permukaan minimal dua dimensi (dengan kodimensi tinggi) dalam bola bulat pada tahun 1967. Ia membuktikan bahwa luas permukaan minimal topologi bola hanya dapat mengambil serangkaian nilai diskrit, dan bahwa permukaan itu sendiri diklasifikasikan oleh kurva rasional dalam ruang simetris hermitian tertentu.

6. Personal Life

Eugenio Calabi menikah dengan Giuliana Segre pada tahun 1952. Dari pernikahan ini, mereka dikaruniai seorang putra dan seorang putri.

7. Death

Eugenio Calabi meninggal dunia pada tanggal 25 September 2023, di usia 100 tahun. Ia wafat di rumahnya di Bryn Mawr, Pennsylvania.

8. Legacy and Influence

Pencapaian matematis Eugenio Calabi memiliki dampak yang berkelanjutan dan mendalam pada bidang matematika dan fisika teoretis. Kontribusinya yang paling signifikan, terutama dugaan Calabi dan konsep manifold Calabi-Yau, telah menjadi landasan bagi banyak penelitian selanjutnya. Dugaan Calabi, yang akhirnya dibuktikan oleh Shing-Tung Yau, membuka jalan bagi pemahaman baru tentang geometri Kähler dan manifold kompleks.

Manifold Calabi-Yau, yang muncul sebagai kasus khusus dari dugaan tersebut, telah menjadi sangat penting dalam teori string sejak tahun 1980-an, menyediakan kerangka matematis untuk dimensi ekstra yang diperlukan dalam teori tersebut. Karya fundamental Calabi dalam geometri diferensial global, khususnya geometri diferensial kompleks, diakui telah "secara mendalam mengubah lanskap bidang tersebut," sebagaimana disebutkan dalam kutipan Leroy P. Steele Prize yang ia terima. Artikelnya tentang "Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jörgens" adalah karya yang paling ia banggakan, menunjukkan kedalaman dan orisinalitas pemikirannya. Warisan Calabi terus menginspirasi generasi matematikawan dan fisikawan berikutnya.

9. Major Publications

Calabi adalah penulis kurang dari lima puluh artikel penelitian. Berikut adalah beberapa publikasi utamanya:

  • Calabi, Eugenio. "Isometric imbedding of complex manifolds." Annals of Mathematics, Seri Kedua, Vol. 58, No. 1, 1953, hlm. 1-23.
  • Calabi, Eugenio, dan Eckmann, Beno. "A class of compact, complex manifolds which are not algebraic." Annals of Mathematics, Seri Kedua, Vol. 58, No. 3, 1953, hlm. 494-500.
  • Calabi, E. "The space of Kähler metrics." Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954. Volume II, Amsterdam, 1954, hlm. 206-207.
  • Calabi, Eugenio. "On Kähler manifolds with vanishing canonical class." Algebraic Geometry and Topology: A symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton, NJ, 1957, hlm. 78-89.
  • Calabi, E. "An extension of E. Hopf's maximum principle with an application to Riemannian geometry." Duke Mathematical Journal, Vol. 25, 1958, hlm. 45-56.
  • Calabi, Eugenio. "Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jörgens." Michigan Mathematical Journal, Vol. 5, No. 2, 1958, hlm. 105-126.
  • Calabi, Eugenio, dan Vesentini, Edoardo. "On compact, locally symmetric Kähler manifolds." Annals of Mathematics, Seri Kedua, Vol. 71, No. 3, 1960, hlm. 472-507.
  • Calabi, E., dan Markus, L. "Relativistic space forms." Annals of Mathematics, Seri Kedua, Vol. 75, No. 1, 1962, hlm. 63-76.
  • Calabi, Eugenio. "Minimal immersions of surfaces in Euclidean spheres." Journal of Differential Geometry, Vol. 1, No. 1-2, 1967, hlm. 111-125.
  • Calabi, Eugenio. "Examples of Bernstein problems for some nonlinear equations." Global Analysis (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XV, Berkeley, Calif., 1968), Providence, RI, 1970, hlm. 223-230.
  • Calabi, Eugenio. "Complete affine hyperspheres. I." Symposia Mathematica, Vol. X, London, 1972, hlm. 19-38.
  • Calabi, E. "Métriques kählériennes et fibrés holomorphesMetrik Kähler dan bundel holomorfikBahasa Prancis." Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Seri Keempat, Vol. 12, No. 2, 1979, hlm. 269-294.
  • Calabi, Eugenio. "Extremal Kähler metrics." Seminar on Differential Geometry, Princeton, NJ, 1982, hlm. 259-290.
  • Calabi, Eugenio. "Extremal Kähler metrics II." Differential Geometry and Complex Analysis, Berlin, 1985, hlm. 95-114.
  • Calabi, E., dan Chen, X. X. "The space of Kähler metrics. II." Journal of Differential Geometry, Vol. 61, No. 2, 2002, hlm. 173-193.

Kumpulan karya Calabi diterbitkan pada tahun 2021:

  • Calabi, Eugenio. Collected Works. Diedit oleh Jean-Pierre Bourguignon, Xiuxiong Chen, dan Simon Donaldson. Berlin: Springer, 2021.