Thoralf Skolem

1.1. Masa Kecil dan Keluarga

Thoralf Albert Skolem lahir pada 23 Mei 1887. Ayahnya adalah seorang guru sekolah dasar, namun sebagian besar anggota keluarga besarnya berprofesi sebagai petani. Ia menghabiskan masa kecilnya di lingkungan yang sederhana di Norwegia.

1.2. Pendidikan

Skolem menempuh pendidikan menengah di Kristiania, yang kemudian berganti nama menjadi Oslo. Ia berhasil lulus ujian masuk universitas pada tahun 1905. Setelah itu, ia melanjutkan studinya di Det Kongelige Frederiks Universitet (kemudian dikenal sebagai Universitas Oslo), dengan fokus utama pada matematika. Selain matematika, ia juga mengambil mata kuliah di bidang fisika, kimia, zoologi, dan botani, menunjukkan minatnya yang luas dalam berbagai disiplang ilmu. Pada tahun 1913, Skolem berhasil lulus ujian negara dengan predikat istimewa dan menyelesaikan disertasinya yang berjudul Investigations on the Algebra of Logic. Pada musim dingin tahun 1915, ia menghabiskan satu semester di Universitas Göttingen, yang pada masa itu merupakan pusat penelitian terkemuka dalam logika matematika, metamatematika, dan aljabar abstrak-bidang-bidang yang kelak akan ia kuasai.

1.3. Karier Awal dan Kolaborasi dengan Birkeland

Pada tahun 1909, Skolem memulai kariernya sebagai asisten fisikawan Kristian Birkeland. Birkeland dikenal atas eksperimennya dalam membombardir bola magnet dengan elektron untuk menghasilkan efek mirip aurora. Oleh karena itu, publikasi pertama Skolem adalah makalah-makalah fisika yang ditulis bersama Birkeland. Selain itu, Skolem juga melakukan perjalanan bersama Birkeland ke Sudan untuk mengamati cahaya zodiak, menunjukkan keterlibatannya dalam penelitian ilmiah yang beragam sejak awal kariernya.

1.4. Karier Akademik dan Kehidupan Universitas

Pada tahun 1916, Skolem diangkat sebagai peneliti di Det Kongelige Frederiks Universitet. Dua tahun kemudian, pada tahun 1918, ia menjadi dosen matematika dan terpilih sebagai anggota Akademi Ilmu Pengetahuan dan Sastra Norwegia. Awalnya, Skolem tidak secara formal mendaftar sebagai kandidat Ph.D., karena ia berpendapat bahwa gelar Ph.D. tidak diperlukan di Norwegia. Namun, ia kemudian mengubah pikirannya dan mengajukan tesis pada tahun 1926, yang berjudul Some theorems about integral solutions to certain algebraic equations and inequalities. Pembimbing tesisnya secara nominal adalah Axel Thue, meskipun Thue telah meninggal pada tahun 1922.

Skolem terus mengajar di Det Kongelige Frederiks Universitet (yang berganti nama menjadi Universitas Oslo pada tahun 1939) hingga tahun 1930. Pada tahun tersebut, ia menjadi Rekan Peneliti di Institut Chr. Michelsen di Bergen. Posisi senior ini memungkinkan Skolem untuk melakukan penelitian tanpa beban tugas administrasi dan pengajaran. Namun, posisi ini juga mengharuskannya tinggal di Bergen, sebuah kota yang pada saat itu tidak memiliki universitas dan, oleh karena itu, tidak memiliki perpustakaan penelitian yang memadai. Kondisi ini menyulitkan Skolem untuk mengikuti perkembangan literatur matematika terbaru.

Pada tahun 1938, ia kembali ke Oslo untuk menjabat sebagai profesor matematika di universitas tersebut. Di sana, ia mengajar mata kuliah pascasarjana di bidang aljabar dan teori bilangan, dan hanya sesekali mengajar logika matematika. Salah satu mahasiswa Ph.D. Skolem, Øystein Ore, kemudian melanjutkan kariernya di Amerika Serikat. Skolem juga menjabat sebagai presiden Masyarakat Matematika Norwegia dan menjadi editor Norsk Matematisk Tidsskrift (Jurnal Matematika Norwegia) selama bertahun-tahun. Ia juga merupakan editor pendiri Mathematica Scandinavica.

1.5. Kehidupan Pribadi

Pada tahun 1927, Skolem menikah dengan Edith Wilhelmine Hasvold. Tidak banyak informasi publik mengenai kehidupan pribadinya selain pernikahannya, karena ia lebih fokus pada karier akademiknya.

1.6. Pensiun dan Kematian

Setelah pensiun pada tahun 1957, Skolem melakukan beberapa perjalanan ke Amerika Serikat, memberikan ceramah dan mengajar di berbagai universitas di sana. Ia tetap aktif secara intelektual hingga kematiannya yang mendadak dan tidak terduga pada 23 Maret 1963.

2.1. Logika Matematika dan Teori Himpunan

Skolem adalah salah satu pelopor dalam logika matematika dan teori himpunan. Pada tahun 1922, ia menyempurnakan aksioma Zermelo untuk teori himpunan dengan mengganti gagasan Zermelo yang samar tentang properti "tertentu" dengan properti apa pun yang dapat dikodekan dalam logika orde pertama. Aksioma yang dihasilkan kini menjadi bagian dari aksioma standar teori himpunan.

Ia juga menunjukkan bahwa konsekuensi dari teorema Löwenheim-Skolem adalah apa yang sekarang dikenal sebagai paradoks Skolem: jika aksioma Zermelo konsisten, maka aksioma tersebut harus dapat dipenuhi dalam domain yang dapat dihitung, meskipun aksioma tersebut membuktikan keberadaan himpunan tak terhitung.

2.2. Teori Model

Skolem adalah seorang pelopor teori model. Pada tahun 1920, ia sangat menyederhanakan bukti teorema Löwenheim-Skolem, yang pertama kali dibuktikan oleh Leopold Löwenheim pada tahun 1915. Teorema ini menyatakan bahwa jika suatu teori orde pertama yang terhitung memiliki model tak terbatas, maka teori tersebut memiliki model yang dapat dihitung. Bukti Skolem pada tahun 1920 menggunakan aksioma pilihan, tetapi ia kemudian (pada tahun 1922 dan 1928) memberikan bukti menggunakan lema Kőnig sebagai pengganti aksioma tersebut. Skolem, seperti Löwenheim, menulis tentang logika matematika dan teori himpunan dengan menggunakan notasi dari sesama pelopor teori model seperti Charles Sanders Peirce dan Ernst Schröder, termasuk Π dan Σ sebagai kuantor pengikat variabel, berbeda dengan notasi Giuseppe Peano, Principia Mathematica, dan Principles of Mathematical Logic. Pada tahun 1934, Skolem juga memelopori konstruksi model non-standar dari aritmetika dan teori himpunan.

2.3. Teori Kisi (Lattice Theory)

Skolem adalah salah satu matematikawan pertama yang menulis tentang kisi. Pada tahun 1912, ia adalah orang pertama yang mendeskripsikan kisi distributif bebas yang dihasilkan oleh n elemen. Pada tahun 1919, ia menunjukkan bahwa setiap kisi implikatif (yang sekarang juga disebut kisi Skolem) adalah distributif dan, sebagai kebalikan parsial, bahwa setiap kisi distributif hingga adalah implikatif. Setelah hasil-hasil ini ditemukan kembali oleh orang lain, Skolem menerbitkan makalah berbahasa Jerman pada tahun 1936, "Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'", yang mengulas karyanya sebelumnya dalam teori kisi.

2.4. Finistisme dan Teori Komputabilitas

Skolem tidak mempercayai konsep tak terhingga yang telah selesai dan merupakan salah satu pendiri finitisme dalam matematika. Dalam karyanya pada tahun 1923, ia mengemukakan aritmetika rekursif primitif, sebuah kontribusi yang sangat awal terhadap teori fungsi terhitung, sebagai cara untuk menghindari apa yang disebut paradoks tak terhingga. Di sini, ia mengembangkan aritmetika bilangan asli dengan pertama-tama mendefinisikan objek melalui rekursi primitif, kemudian merancang sistem lain untuk membuktikan properti objek yang didefinisikan oleh sistem pertama. Kedua sistem ini memungkinkannya untuk mendefinisikan bilangan prima dan menyusun sejumlah besar teori bilangan. Jika sistem pertama ini dapat dianggap sebagai bahasa pemrograman untuk mendefinisikan objek, dan yang kedua sebagai logika pemrograman untuk membuktikan properti tentang objek, Skolem dapat dilihat sebagai pelopor ilmu komputer teoretis yang tidak disengaja.

Pada tahun 1929, Presburger membuktikan bahwa aritmetika Peano tanpa perkalian adalah konsisten, lengkap, dan decidable. Tahun berikutnya, Skolem membuktikan hal yang sama berlaku untuk aritmetika Peano tanpa penjumlahan, sebuah sistem yang dinamai aritmetika Skolem untuk menghormatinya. Hasil terkenal Kurt Gödel pada tahun 1931 adalah bahwa aritmetika Peano itu sendiri (dengan penjumlahan dan perkalian) adalah tidak lengkap dan karenanya a posteriori tidak dapat diputuskan.

2.5. Teorema dan Konsep Utama

Beberapa teorema dan konsep matematika penting dinamai menurut namanya atau ia berkontribusi secara signifikan:

• Bentuk normal Skolem
• Aritmetika Skolem
• Paradoks Skolem
• Teorema Löwenheim-Skolem
• Teorema Skolem-Noether: Teorema ini mengkarakterisasi automorfisme dari aljabar sederhana. Skolem menerbitkan bukti pada tahun 1927, tetapi Emmy Noether secara independen menemukan kembali teorema ini beberapa tahun kemudian.
• Teorema Skolem-Mahler-Lech
• Masalah Skolem
• Urutan Skolem

4.1. Evaluasi Positif

Hao Wang memuji karya Skolem sebagai berikut:

Skolem cenderung memperlakukan masalah umum dengan contoh-contoh konkret. Ia seringkali tampak menyajikan bukti dalam urutan yang sama seperti saat ia menemukannya. Hal ini menghasilkan informalitas yang segar serta ketidakpastian tertentu. Banyak makalahnya terasa seperti laporan kemajuan. Namun, ide-idenya seringkali kaya dan berpotensi untuk aplikasi yang luas. Ia adalah 'jiwa yang bebas': ia tidak termasuk dalam sekolah mana pun, ia tidak mendirikan sekolahnya sendiri, ia biasanya tidak banyak menggunakan hasil yang diketahui... ia adalah seorang inovator dan sebagian besar makalahnya dapat dibaca dan dipahami oleh mereka yang tidak memiliki banyak pengetahuan khusus. Sangat mungkin bahwa jika ia masih muda hari ini, logika... tidak akan menarik baginya.

4.2. Kritik dan Kontroversi

Salah satu aspek yang seringkali dibahas terkait karya Skolem adalah fakta bahwa ia banyak menerbitkan di jurnal-jurnal Norwegia yang memiliki sirkulasi internasional terbatas. Hal ini menyebabkan beberapa hasil pentingnya, seperti teorema Skolem-Noether, ditemukan kembali secara independen oleh matematikawan lain. Selain itu, meskipun hasil-hasil yang ia buktikan pada awal tahun 1920-an dan diskusikan pada tahun 1928 sebenarnya menyiratkan kelengkapan logika orde pertama, Skolem gagal mencatat fakta ini. Mungkin hal ini terjadi karena para matematikawan dan logikawan belum sepenuhnya menyadari kelengkapan sebagai masalah metamatematika fundamental hingga edisi pertama Principles of Mathematical Logic karya Hilbert dan Ackermann pada tahun 1928 secara jelas mengartikulasikannya. Bagaimanapun, Kurt Gödel adalah orang pertama yang membuktikan kelengkapan ini pada tahun 1930.

4.3. Pengaruh pada Matematika Selanjutnya

Ide-ide dan metodologi matematika Skolem memiliki pengaruh yang signifikan pada perkembangan logika dan bidang terkait di masa depan. Kontribusinya pada aritmetika rekursif primitif pada tahun 1923, yang bertujuan untuk menghindari paradoks tak terhingga, dapat dianggap sebagai salah satu kontribusi awal terhadap teori fungsi terhitung dan, secara tidak langsung, memelopori ilmu komputer teoretis. Karyanya dalam teori model, khususnya penyederhanaan bukti teorema Löwenheim-Skolem dan konstruksi model non-standar dari aritmetika, meletakkan dasar bagi studi formal tentang struktur matematika dan interpretasi teori-teori formal. Meskipun terkadang karyanya kurang dikenal secara luas pada masanya, warisan intelektual Skolem tetap menjadi pilar penting dalam logika matematika modern.