Pierre Deligne

1.1. Kehidupan Awal dan Pendidikan

Deligne lahir pada 3 Oktober 1944 di Etterbeek, Belgia. Ia menempuh pendidikan di Athénée Adolphe Max dan melanjutkan studi di Université libre de Bruxelles (ULB). Di ULB, ia menulis disertasi berjudul Théorème de Lefschetz et critères de dégénérescence de suites spectrales (Teorema Lefschetz dan kriteria degenerasi barisan spektral). Ia menyelesaikan gelar doktornya di Universitas Paris-Sud di Orsay pada tahun 1972 di bawah bimbingan Alexander Grothendieck, dengan tesis berjudul Théorie de Hodge.

1.2. Karier

Karier profesional Pierre Deligne ditandai dengan kolaborasi penting dan kontribusi fundamental dalam berbagai bidang matematika.

2.1. Pembuktian Konjektur Weil

Kontribusi paling terkenal Deligne adalah pembuktian lengkap konjektur Weil pada tahun 1973. Konjektur ini, yang dirumuskan oleh André Weil, menghubungkan jumlah titik pada varietas aljabar di atas medan hingga dengan topologi varietas tersebut. Pembuktian Deligne memberikan estimasi nilai eigen dari endomorfisme Frobenius, yang merupakan analog geometris dari hipotesis Riemann. Pembuktian ini memiliki dampak besar, mengarah pada pembuktian konjektur Ramanujan-Petersson untuk bentuk modular dan memberikan estimasi baru untuk jumlah eksponensial klasik. Karyanya ini dianggap sebagai puncak dari program penelitian besar yang dimulai oleh Alexander Grothendieck.

2.2. Teori Hodge dan Motif

Deligne mengembangkan teori Hodge campuran, sebuah alat yang sangat kuat dalam geometri aljabar yang menggeneralisasi teori Hodge klasik. Ia menggunakan filtrasi bobot, resolusi singularitas Hironaka, dan metode lainnya untuk membangun teori ini, yang kemudian digunakannya untuk membuktikan konjektur Weil.

Dalam konteks penyelesaian program penelitian Grothendieck, ia mendefinisikan siklus Hodge absolut sebagai pengganti teori motif yang masih belum lengkap dan sebagian besar masih berupa konjektur. Gagasan ini memungkinkan untuk mengatasi kurangnya pengetahuan tentang konjektur Hodge untuk beberapa aplikasi.

Deligne juga mengerjakan ulang teori kategori Tannakian dalam makalahnya tahun 1990 untuk "Grothendieck Festschrift", menggunakan teorema monadisitas Beck. Konsep kategori Tannakian adalah ekspresi kategoris dari linearitas teori motif sebagai teori kohomologi Weil pamungkas. Semua ini merupakan bagian dari "yoga bobot", yang menyatukan teori Hodge dan representasi Galois l-adik. Teori varietas Shimura terkait dengan gagasan bahwa varietas semacam itu seharusnya memparametrisasi bukan hanya keluarga struktur Hodge yang baik (menarik secara aritmetika), tetapi juga motif yang sebenarnya. Teori ini belum selesai, dan tren yang lebih baru telah menggunakan pendekatan teori K.

2.3. Ruang Moduli dan Tumpukan Aljabar

Dalam kolaborasi dengan David Mumford, Deligne memberikan deskripsi baru mengenai ruang moduli untuk kurva. Pekerjaan mereka mengarah pada pengenalan tumpukan Deligne-Mumford, yang menjadi fondasi penting dalam geometri aljabar dan telah diterapkan dalam teori dawai.

2.4. Teori Representasi dan Grup Aljabar

Bersama George Lusztig, Deligne menerapkan kohomologi étale untuk membangun representasi grup tipe Lie hingga. Kontribusi ini dikenal sebagai teori Deligne-Lusztig, yang mengklasifikasikan representasi tak tereduksi dari grup-grup ini secara geometris. Ia juga berkolaborasi dengan Michael Rapoport dalam melihat ruang moduli dari sudut pandang aritmetika, dengan aplikasi penting pada bentuk modular.

2.5. Berkas Pervers

Bersama Alexander Beilinson, Joseph Bernstein, dan Ofer Gabber, Deligne memberikan kontribusi definitif pada teori berkas pervers (perverse sheaves). Teori ini memainkan peran penting dalam pembuktian lemma fundamental oleh Ngô Bảo Châu. Deligne sendiri juga menggunakan teori ini untuk sangat memperjelas sifat korespondensi Riemann-Hilbert, yang memperluas masalah Hilbert kedua puluh satu ke dimensi yang lebih tinggi. Sebelum makalah Deligne, tesis Zoghman Mebkhout tahun 1980 dan karya Masaki Kashiwara melalui teori D-modul (tetapi diterbitkan pada tahun 80-an) tentang masalah tersebut telah muncul.

2.6. Penelitian Penting Lainnya

Pada tahun 1974 di IHÉS, makalah bersama Deligne dengan Phillip Griffiths, John Morgan, dan Dennis Sullivan tentang teori homotopi riil dari manifold Kähler kompak merupakan karya besar dalam geometri diferensial kompleks yang menyelesaikan beberapa pertanyaan penting baik dari signifikansi klasik maupun modern. Masukan dari konjektur Weil, teori Hodge, variasi struktur Hodge, dan banyak alat geometris dan topologis sangat penting untuk penyelidikannya.

Karyanya dalam teori singularitas kompleks menggeneralisasi pemetaan Milnor ke dalam pengaturan aljabar dan memperluas rumus Picard-Lefschetz di luar format umumnya, menghasilkan metode penelitian baru dalam subjek ini. Makalahnya dengan Ken Ribet tentang fungsi-L abelian dan perluasannya ke permukaan modular Hilbert dan fungsi-L p-adik merupakan bagian penting dari karyanya dalam geometri aritmetika.

Pencapaian penelitian penting Deligne lainnya meliputi gagasan tentang penurunan kohomologis, fungsi-L motivik, berkas campuran, siklus lenyap terdekat, ekstensi pusat grup reduktif, geometri dan topologi grup kepang, memberikan definisi aksiomatik modern varietas Shimura, karya kolaborasi dengan George Mostow tentang contoh kisi non-aritmetika dan monodromi persamaan diferensial hipergeometris dalam ruang hiperbolik kompleks dua dan tiga dimensi, dan lain-lain.

Kontribusi lain yang disebutkan dalam sumber termasuk:

• Pembuktian aljabar dekomposisi Hodge.
• Filosofi "bobot".
• Penyelesaian konjektur Zariski.
• Pengenalan kohomologi relatif antara dua kuantisasi deformasi.
• Teorema Deligne-Serre tentang representasi l-adik dari bentuk modular.
• Rumus jejak Deligne-Kazhdan.
• Klasifikasi Deligne-Mostow dari ruang konfigurasi garis proyektif.
• Konstruksi kohomologi Deligne.
• Kaitan antara nilai zeta majemuk dan motif.
• Karya bersama Beilinson-Deligne.