Bernard Bolzano

1.1. Kelahiran dan Keluarga

Bernard Bolzano lahir dengan nama lengkap Bernardus Placidus Johann Nepomuk Bolzano pada tanggal 5 Oktober 1781 di Praha, yang saat itu merupakan bagian dari Kerajaan Bohemia. Kedua orang tuanya adalah penganut Katolik Roma yang saleh dari kalangan pedagang. Ayahnya, Bernard Pompeius Bolzano, adalah seorang pedagang berdarah Italia yang pindah dari Italia Utara ke Praha. Di Praha, ayahnya menikah dengan Maria Cecilia Maurer, yang berasal dari keluarga Maurer yang berbahasa Jerman di Praha. Dari dua belas anak yang dilahirkan pasangan ini, hanya dua yang berhasil hidup hingga dewasa.

1.2. Pendidikan dan Awal Karier

Pada usia sepuluh tahun, Bolzano memasuki Gymnasium Piaris di Praha, tempat ia belajar dari tahun 1791 hingga 1796. Pada tahun 1796, ia melanjutkan studinya di Universitas Praha, mendalami matematika, filsafat, dan fisika. Sejak tahun 1800, ia juga mulai mempelajari teologi, dan pada tahun 1804 ia ditahbiskan sebagai imam Katolik. Pada tahun yang sama, ia meraih gelar PhD dengan tesis berjudul Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Pertimbangan tentang Beberapa Objek Geometri Elementer).

Pada tahun 1805, Bolzano diangkat sebagai profesor di kursi baru filsafat agama di Universitas Praha. Ia terbukti menjadi pengajar yang populer, tidak hanya dalam bidang agama tetapi juga dalam filsafat. Ia menunjukkan minat pada filsafat Gottfried Leibniz dan Christian Wolff, dan kemudian mendalami karya Immanuel Kant. Pada tahun 1818, ia terpilih sebagai Dekan Fakultas Filsafat.

2.1. Imamat dan Pengajaran Teologi

Setelah ditahbiskan sebagai imam Katolik pada tahun 1804, Bolzano diangkat menjadi profesor filsafat agama di Universitas Praha pada tahun 1805. Selama masa pengajarannya, ia dikenal sebagai dosen yang sangat populer, tidak hanya dalam mata kuliah teologi dan filsafat agama, tetapi juga dalam bidang filsafat secara umum. Reputasinya sebagai pengajar yang karismatik dan pemikir yang mendalam menarik banyak mahasiswa.

2.2. Pandangan Sosial dan Politik

Bolzano memiliki pandangan liberal dan progresif yang kuat. Ia secara terbuka mengkritik pemborosan sosial yang disebabkan oleh militerisme dan menyatakan bahwa perang adalah hal yang tidak perlu. Ia mendesak reformasi total sistem pendidikan, sosial, dan ekonomi yang akan mengarahkan kepentingan bangsa menuju perdamaian daripada konflik bersenjata antarnegara. Keyakinan politiknya, yang sering ia bagikan kepada orang lain, akhirnya terbukti terlalu liberal bagi otoritas Kekaisaran Austria. Ia bahkan pernah mengemukakan gagasan tentang negara komunisme yang terinspirasi oleh Saint-Simon.

2.3. Konflik dengan Otoritas dan Pengasingan

Pandangan Bolzano yang progresif dan kritikannya terhadap militerisme menyebabkan ia berselisih dengan banyak fakultas dan pemimpin gereja. Pada tanggal 24 Desember 1819, ia diberhentikan dari jabatan profesornya di Universitas Praha setelah menolak untuk mencabut keyakinannya. Ia kemudian diasingkan ke pedesaan dan dilarang menerbitkan karyanya di jurnal-jurnal arus utama.

Meskipun menghadapi kesulitan dan larangan publikasi, Bolzano terus mengembangkan ide-idenya. Ia menerbitkan karyanya secara mandiri atau melalui jurnal-jurnal yang kurang dikenal di Eropa Timur. Selama masa pengasingannya, ia juga menghadapi tragedi pribadi, seperti kematian ibunya pada tahun 1821. Namun, ia menemukan dukungan moral dan finansial yang besar dari Anna Hoffmann, istri seorang pedagang Praha, yang membantunya melanjutkan penelitiannya hingga kematiannya pada tahun 1842. Bolzano kembali ke Praha pada tahun 1842, enam tahun sebelum kematiannya.

3.1. Ketelitian dalam Analisis

Pendekatan filosofis Bolzano dalam matematika adalah menghindari pengenalan ide-ide intuitif seperti waktu dan gerak, yang pada masanya masih sering digunakan. Untuk tujuan ini, ia adalah salah satu matematikawan paling awal yang mulai menanamkan ketelitian ke dalam analisis matematika. Tiga karya matematika utamanya, Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik (1810), Der binomische Lehrsatz (1816), dan Rein analytischer Beweis (1817), menyajikan "contoh cara baru mengembangkan analisis". Tujuan utamanya adalah membangun dasar-dasar analisis yang murni analitis, sebuah tujuan yang baru sepenuhnya terwujud sekitar lima puluh tahun kemudian ketika karyanya menarik perhatian Karl Weierstrass.

Bolzano berkontribusi pada dasar-dasar analisis matematika dengan memperkenalkan definisi ε-δ yang sepenuhnya ketat dari limit matematika. Ia adalah orang pertama yang mengenali sifat batas atas terkecil dari bilangan riil. Bolzano skeptis terhadap kemungkinan infinitesimal Gottfried Leibniz, yang merupakan dasar awal untuk kalkulus diferensial. Gagasan Bolzano tentang limit mirip dengan konsep modern: bahwa limit, daripada menjadi hubungan antar infinitesimal, harus dinyatakan dalam bagaimana variabel terikat mendekati kuantitas tertentu saat variabel bebas mendekati kuantitas tertentu lainnya.

3.2. Teorema dan Bukti Kunci

Bolzano memberikan bukti analitis murni pertama untuk teorema dasar aljabar, yang awalnya telah dibuktikan oleh Carl Friedrich Gauss dari pertimbangan geometris. Ia juga memberikan bukti analitis murni pertama dari teorema nilai antara (juga dikenal sebagai Teorema Bolzano). Saat ini, ia paling banyak dikenang karena Teorema Bolzano-Weierstrass, yang dikembangkan secara independen oleh Karl Weierstrass dan diterbitkan bertahun-tahun setelah bukti pertama Bolzano, dan awalnya disebut teorema Weierstrass hingga karya Bolzano yang lebih awal ditemukan kembali. Namanya diabadikan dalam beberapa teorema penting dalam analisis matematika.

4.1. Teori Sains (Wissenschaftslehre)

Karya utama Bolzano yang paling terkenal adalah Wissenschaftslehre (Teori Sains), yang diterbitkan pada tahun 1837 dalam empat volume. Karya ini tidak hanya mencakup filsafat sains dalam pengertian modern, tetapi juga logika, epistemologi, dan pedagogi ilmiah. Teori logis yang dikembangkan Bolzano dalam karya ini telah diakui sebagai terobosan.

Dalam Wissenschaftslehre, Bolzano berupaya memberikan dasar logis untuk semua ilmu pengetahuan, membangun abstraksi seperti hubungan bagian-keseluruhan, objek abstrak, atribut, bentuk kalimat, ide dan proposisi dalam dirinya sendiri, jumlah dan himpunan, koleksi, substansi, keterikatan, ide subjektif, penilaian, dan kejadian kalimat. Upaya-upaya ini merupakan perluasan dari pemikiran awalnya dalam filsafat matematika, misalnya dalam karyanya Beiträge (1810) di mana ia menekankan perbedaan antara hubungan objektif antara konsekuensi logis dan pengakuan subjektif kita terhadap hubungan ini. Bagi Bolzano, tidak cukup hanya memiliki konfirmasi kebenaran alamiah atau matematika, melainkan peran yang tepat dari ilmu pengetahuan (baik murni maupun terapan) adalah mencari justifikasi dalam hal kebenaran fundamental yang mungkin tampak atau tidak tampak jelas bagi intuisi kita.

Bolzano memulai karyanya dengan menjelaskan apa yang ia maksud dengan "teori sains" dan hubungan antara pengetahuan, kebenaran, dan sains. Pengetahuan manusia, menurutnya, terdiri dari semua kebenaran (atau proposisi benar) yang diketahui atau pernah diketahui manusia. Namun, ini hanyalah sebagian kecil dari semua kebenaran yang ada, meskipun masih terlalu banyak untuk dipahami oleh satu manusia. Oleh karena itu, pengetahuan kita dibagi menjadi bagian-bagian yang lebih mudah diakses. Kumpulan kebenaran semacam itu disebut Bolzano sebagai sains (Wissenschaft). Penting untuk dicatat bahwa tidak semua proposisi benar dari suatu sains harus diketahui oleh manusia; oleh karena itu, inilah cara kita dapat membuat penemuan dalam suatu sains. Untuk lebih memahami kebenaran suatu sains, manusia telah menciptakan buku teks (Lehrbuch), yang tentu saja hanya berisi proposisi benar dari sains yang diketahui manusia. Namun, bagaimana cara mengetahui di mana harus membagi pengetahuan kita, yaitu kebenaran mana yang saling berkaitan? Bolzano menjelaskan bahwa kita pada akhirnya akan mengetahui ini melalui refleksi, tetapi aturan-aturan yang dihasilkan tentang cara membagi pengetahuan kita menjadi sains-sains akan menjadi sains itu sendiri. Sains yang memberi tahu kita kebenaran mana yang saling berkaitan dan harus dijelaskan dalam buku teks inilah yang disebut Teori Sains (Wissenschaftslehre).

4.2. Realisme Logis dan Metafisika

Dalam Wissenschaftslehre, Bolzano terutama membahas tiga ranah:

• Ranah bahasa, yang terdiri dari kata-kata dan kalimat.
• Ranah pikiran, yang terdiri dari ide-ide dan penilaian subjektif.
• Ranah logika, yang terdiri dari ide-ide objektif (atau ide-ide dalam dirinya sendiri) dan proposisi dalam dirinya sendiri.

Bolzano mencurahkan sebagian besar Wissenschaftslehre untuk menjelaskan ranah-ranah ini dan hubungannya. Dua perbedaan memainkan peran penting dalam sistemnya. Pertama, perbedaan antara bagian dan keseluruhan. Misalnya, kata-kata adalah bagian dari kalimat, ide-ide subjektif adalah bagian dari penilaian, ide-ide objektif adalah bagian dari proposisi dalam dirinya sendiri. Kedua, semua objek dibagi menjadi objek yang ada, yang berarti objek tersebut terhubung secara kausal dan terletak dalam waktu dan/atau ruang, dan objek yang tidak ada. Klaim orisinal Bolzano adalah bahwa ranah logis dihuni oleh objek-objek jenis terakhir.

Konsep Satz an Sich (proposisi dalam dirinya sendiri) adalah gagasan dasar dalam Wissenschaftslehre Bolzano, yang diperkenalkan pada bagian 19. Bolzano pertama-tama memperkenalkan gagasan proposisi (diucapkan, ditulis, dipikirkan, atau dalam dirinya sendiri) dan ide (diucapkan, ditulis, dipikirkan, atau dalam dirinya sendiri). "Rumput itu hijau" adalah sebuah proposisi (Satz); dalam hubungan kata-kata ini, sesuatu dikatakan atau ditegaskan. "Rumput", bagaimanapun, hanyalah sebuah ide (Vorstellung). Sesuatu direpresentasikan olehnya, tetapi tidak menegaskan apa pun. Gagasan Bolzano tentang proposisi cukup luas: "Persegi panjang itu bulat" adalah sebuah proposisi - meskipun salah karena kontradiksi diri - karena disusun secara dapat dipahami dari bagian-bagian yang dapat dipahami.

Bolzano tidak memberikan definisi lengkap tentang Satz an Sich (yaitu proposisi dalam dirinya sendiri) tetapi ia memberikan informasi yang cukup untuk memahami apa yang ia maksud. Sebuah proposisi dalam dirinya sendiri (i) tidak memiliki keberadaan (yaitu: tidak memiliki posisi dalam waktu atau tempat), (ii) adalah benar atau salah, terlepas dari siapa pun yang mengetahui atau berpikir bahwa ia benar atau salah, dan (iii) adalah apa yang 'dipahami' oleh makhluk berpikir. Jadi, kalimat tertulis ('Socrates memiliki kebijaksanaan') menangkap sebuah proposisi dalam dirinya sendiri, yaitu proposisi [Socrates memiliki kebijaksanaan]. Kalimat tertulis memang memiliki keberadaan (ia memiliki lokasi tertentu pada waktu tertentu, misalnya di layar komputer Anda saat ini) dan mengungkapkan proposisi dalam dirinya sendiri yang berada dalam ranah dalam dirinya sendiri (yaitu an sich). (Penggunaan Bolzano atas istilah an sich sangat berbeda dari Kant; untuk penggunaan Kant atas istilah tersebut, lihat an sich.)

Setiap proposisi dalam dirinya sendiri terdiri dari ide-ide dalam dirinya sendiri (untuk kesederhanaan, kita akan menggunakan proposisi untuk berarti "proposisi dalam dirinya sendiri" dan ide untuk merujuk pada ide objektif atau ide dalam dirinya sendiri). Ide-ide secara negatif didefinisikan sebagai bagian-bagian dari proposisi yang bukan proposisi itu sendiri. Sebuah proposisi terdiri dari setidaknya tiga ide, yaitu: ide subjek, ide predikat, dan kopula (yaitu 'memiliki', atau bentuk lain dari memiliki). Meskipun ada proposisi yang mengandung proposisi, kita tidak akan mempertimbangkannya saat ini.

Bolzano mengidentifikasi jenis-jenis ide tertentu. Ada ide-ide sederhana yang tidak memiliki bagian (sebagai contoh Bolzano menggunakan [sesuatu]), tetapi ada juga ide-ide kompleks yang terdiri dari ide-ide lain (Bolzano menggunakan contoh [tidak ada], yang terdiri dari ide-ide [tidak] dan [sesuatu]). Ide-ide kompleks dapat memiliki konten yang sama (yaitu bagian yang sama) tanpa menjadi sama - karena komponen-komponennya terhubung secara berbeda. Ide [pena hitam dengan tinta biru] berbeda dari ide [pena biru dengan tinta hitam] meskipun bagian-bagian dari kedua ide tersebut sama.

Penting untuk dipahami bahwa sebuah ide tidak perlu memiliki objek. Bolzano menggunakan objek untuk menunjukkan sesuatu yang direpresentasikan oleh sebuah ide. Sebuah ide yang memiliki objek, merepresentasikan objek tersebut. Tetapi sebuah ide yang tidak memiliki objek tidak merepresentasikan apa pun. (Jangan bingung di sini dengan terminologi: ide tanpa objek adalah ide tanpa representasi.) Sebagai contoh, ide [persegi bulat] tidak memiliki objek, karena objek yang seharusnya direpresentasikan adalah kontradiktif. Contoh lain adalah ide [tidak ada] yang tentu saja tidak memiliki objek. Namun, proposisi [ide persegi bulat memiliki kompleksitas] memiliki sebagai ide subjeknya [ide persegi bulat]. Ide subjek ini memang memiliki objek, yaitu ide [persegi bulat]. Tetapi, ide itu tidak memiliki objek. Selain ide tanpa objek, ada ide yang hanya memiliki satu objek, misalnya ide [manusia pertama di bulan] hanya merepresentasikan satu objek. Bolzano menyebut ide-ide ini 'ide singular'. Jelas ada juga ide yang memiliki banyak objek (misalnya [warga Amsterdam]) dan bahkan objek tak terbatas (misalnya [bilangan prima]).

Bolzano memiliki teori kompleks tentang bagaimana kita dapat merasakan sesuatu. Ia menjelaskan sensasi melalui istilah intuisi, dalam bahasa Jerman disebut Anschauung. Sebuah intuisi adalah ide sederhana, ia hanya memiliki satu objek (Einzelvorstellung), tetapi selain itu, ia juga unik (Bolzano membutuhkan ini untuk menjelaskan sensasi). Intuisi (Anschauungen) adalah ide-ide objektif, mereka termasuk dalam ranah an sich, yang berarti mereka tidak memiliki keberadaan. Seperti yang dikatakan, argumentasi Bolzano untuk intuisi adalah dengan penjelasan tentang sensasi. Apa yang terjadi ketika Anda merasakan objek nyata yang ada, misalnya mawar, adalah ini: aspek-aspek berbeda dari mawar, seperti baunya dan warnanya, menyebabkan perubahan dalam diri Anda. Perubahan itu berarti bahwa sebelum dan sesudah merasakan mawar, pikiran Anda berada dalam keadaan yang berbeda. Jadi sensasi sebenarnya adalah perubahan dalam keadaan mental Anda. Bagaimana ini terkait dengan objek dan ide? Bolzano menjelaskan bahwa perubahan ini, dalam pikiran Anda, pada dasarnya adalah ide sederhana (Vorstellung), seperti, 'bau ini' (dari mawar tertentu ini). Ide ini merepresentasikan; ia memiliki objek perubahan. Selain sederhana, perubahan ini juga harus unik. Ini karena secara harfiah Anda tidak dapat memiliki pengalaman yang sama dua kali, juga tidak dapat dua orang, yang mencium mawar yang sama pada saat yang sama, memiliki pengalaman yang persis sama tentang bau itu (meskipun mereka akan sangat mirip). Jadi setiap sensasi tunggal menyebabkan ide tunggal (baru) yang unik dan sederhana dengan perubahan tertentu sebagai objeknya. Sekarang, ide ini dalam pikiran Anda adalah ide subjektif, yang berarti ia ada dalam diri Anda pada waktu tertentu. Ia memiliki keberadaan. Tetapi ide subjektif ini harus sesuai dengan, atau memiliki sebagai konten, ide objektif. Di sinilah Bolzano memperkenalkan intuisi (Anschauungen); mereka adalah ide-ide sederhana, unik, dan objektif yang sesuai dengan ide-ide subjektif kita tentang perubahan yang disebabkan oleh sensasi. Jadi untuk setiap sensasi tunggal yang mungkin, ada ide objektif yang sesuai. Secara skematis seluruh prosesnya seperti ini: setiap kali Anda mencium mawar, baunya menyebabkan perubahan dalam diri Anda. Perubahan ini adalah objek dari ide subjektif Anda tentang bau tertentu itu. Ide subjektif itu sesuai dengan intuisi atau Anschauung.

Menurut Bolzano, semua proposisi terdiri dari tiga elemen (sederhana atau kompleks): subjek, predikat, dan kopula. Alih-alih istilah kopulatif yang lebih tradisional 'adalah', Bolzano lebih suka 'memiliki'. Alasannya adalah bahwa 'memiliki', tidak seperti 'adalah', dapat menghubungkan istilah konkret, seperti 'Socrates', ke istilah abstrak seperti 'kebotakan'. "Socrates memiliki kebotakan" adalah, menurut Bolzano, lebih baik daripada "Socrates botak" karena bentuk terakhir kurang mendasar: 'botak' itu sendiri terdiri dari elemen 'sesuatu', 'yang', 'memiliki', dan 'kebotakan'. Bolzano juga mereduksi proposisi eksistensial ke bentuk ini: "Socrates ada" akan menjadi "Socrates memiliki keberadaan (Dasein)".

Peran utama dalam teori logis Bolzano dimainkan oleh gagasan variasi: berbagai hubungan logis didefinisikan dalam hal perubahan nilai kebenaran yang ditimbulkan oleh proposisi ketika bagian non-logisnya diganti dengan yang lain. Proposisi analitis secara logis, misalnya, adalah proposisi di mana semua bagian non-logis dapat diganti tanpa perubahan nilai kebenaran. Dua proposisi 'kompatibel' (verträglich) sehubungan dengan salah satu bagian komponennya x jika ada setidaknya satu istilah yang dapat dimasukkan yang akan membuat keduanya benar. Sebuah proposisi Q 'dapat disimpulkan' (ableitbar) dari proposisi P, sehubungan dengan bagian non-logis tertentu, jika setiap penggantian bagian-bagian tersebut yang membuat P benar juga membuat Q benar. Jika sebuah proposisi dapat disimpulkan dari yang lain sehubungan dengan semua bagian non-logisnya, ia dikatakan 'dapat disimpulkan secara logis'. Selain hubungan deducibility, Bolzano juga memiliki hubungan yang lebih ketat yaitu 'grounding' (Abfolge). Ini adalah hubungan asimetris yang berlaku antara proposisi yang benar, ketika salah satu proposisi tidak hanya dapat disimpulkan dari, tetapi juga dijelaskan oleh yang lain.

Bolzano membedakan lima makna kata benar dan kebenaran dalam penggunaan umum, yang semuanya dianggap Bolzano tidak bermasalah. Makna-makna tersebut tercantum dalam urutan yang tepat:

• Makna objektif abstrak: Kebenaran menandakan atribut yang mungkin berlaku untuk sebuah proposisi, terutama untuk sebuah proposisi dalam dirinya sendiri, yaitu atribut yang mendasari proposisi tersebut mengungkapkan sesuatu yang dalam kenyataan adalah seperti yang diungkapkan. Antonim: kepalsuan.
• Makna objektif konkret: (a) Kebenaran menandakan sebuah proposisi yang memiliki atribut kebenaran dalam makna objektif abstrak. Antonim: (a) kepalsuan.
• Makna subjektif: (a) Kebenaran menandakan penilaian yang benar. Antonim: (a) kesalahan.
• Makna kolektif: Kebenaran menandakan kumpulan atau multiplisitas proposisi atau penilaian yang benar (misalnya kebenaran alkitabiah).
• Makna tidak tepat: Benar menandakan bahwa suatu objek dalam kenyataan adalah apa yang dinyatakan oleh suatu denominasi. (misalnya Tuhan yang benar). Antonim: palsu, tidak nyata, ilusi.

Perhatian utama Bolzano adalah pada makna objektif konkret: dengan kebenaran objektif konkret atau kebenaran dalam dirinya sendiri. Semua kebenaran dalam dirinya sendiri adalah sejenis proposisi dalam dirinya sendiri. Mereka tidak ada, yaitu mereka tidak berlokasi secara spasial-temporal seperti proposisi yang dipikirkan dan diucapkan. Namun, proposisi tertentu memiliki atribut sebagai kebenaran dalam dirinya sendiri. Menjadi proposisi yang dipikirkan bukanlah bagian dari konsep kebenaran dalam dirinya sendiri, terlepas dari fakta bahwa, mengingat kemahatahuan Tuhan, semua kebenaran dalam dirinya sendiri juga merupakan kebenaran yang dipikirkan. Konsep 'kebenaran dalam dirinya sendiri' dan 'kebenaran yang dipikirkan' dapat dipertukarkan, karena keduanya berlaku untuk objek yang sama, tetapi keduanya tidak identik.

Bolzano menawarkan sebagai definisi yang benar dari kebenaran (objektif abstrak): sebuah proposisi adalah benar jika ia mengungkapkan sesuatu yang berlaku untuk objeknya. Definisi yang benar dari kebenaran (objektif konkret) haruslah: kebenaran adalah sebuah proposisi yang mengungkapkan sesuatu yang berlaku untuk objeknya. Definisi ini berlaku untuk kebenaran dalam dirinya sendiri, bukan untuk kebenaran yang dipikirkan atau diketahui, karena tidak ada konsep yang muncul dalam definisi ini yang tunduk pada konsep sesuatu yang mental atau diketahui.

Bolzano membuktikan dalam §§31-32 dari Wissenschaftslehre-nya tiga hal:

• Ada setidaknya satu kebenaran dalam dirinya sendiri (makna objektif konkret).
• Ada lebih dari satu kebenaran dalam dirinya sendiri.
• Ada tak terbatas banyaknya kebenaran dalam dirinya sendiri.

Kebenaran yang diketahui memiliki sebagai bagiannya (Bestandteile) kebenaran dalam dirinya sendiri dan penilaian (Bolzano, Wissenschaftslehre §26). Sebuah penilaian adalah pemikiran yang menyatakan sebuah proposisi yang benar. Dalam menilai (setidaknya ketika materi penilaian adalah proposisi yang benar), ide tentang suatu objek dihubungkan dengan cara tertentu dengan ide tentang suatu karakteristik (§23). Dalam penilaian yang benar, hubungan antara ide tentang objek dan ide tentang karakteristik adalah hubungan yang aktual/ada (§28). Setiap penilaian memiliki sebagai materinya sebuah proposisi, yang benar atau salah. Setiap penilaian ada, tetapi tidak "für sich". Penilaian, yaitu, berbeda dengan proposisi dalam dirinya sendiri, tergantung pada aktivitas mental subjektif. Namun, tidak setiap aktivitas mental harus menjadi penilaian; perlu diingat bahwa semua penilaian memiliki proposisi sebagai materi, dan oleh karena itu semua penilaian harus benar atau salah. Presentasi atau pemikiran belaka adalah contoh aktivitas mental yang tidak harus dinyatakan (behaupten), dan oleh karena itu bukan penilaian (§34). Penilaian yang memiliki proposisi benar sebagai materinya dapat disebut kognisi (§36). Kognisi juga tergantung pada subjek, dan oleh karena itu, bertentangan dengan kebenaran dalam dirinya sendiri, kognisi memang memungkinkan derajat; sebuah proposisi dapat lebih atau kurang diketahui, tetapi tidak dapat lebih atau kurang benar. Setiap kognisi secara niscaya menyiratkan penilaian, tetapi tidak setiap penilaian niscaya adalah kognisi, karena ada juga penilaian yang tidak benar. Bolzano berpendapat bahwa tidak ada yang namanya kognisi palsu, hanya penilaian palsu (§34).

4.3. Paradoks Ketakhinggaan

Karya Bolzano yang diterbitkan secara anumerta, Paradoxien des Unendlichen (Paradoks Ketakhinggaan) pada tahun 1851, sangat dikagumi oleh banyak logikawan terkemuka yang datang setelahnya, termasuk Charles Sanders Peirce, Georg Cantor, dan Richard Dedekind. Dalam karya ini, Bolzano secara mendalam mengeksplorasi konsep ketakhinggaan dan memberikan kontribusi penting terhadap pengembangan konsep takhingga aktual. Cantor, pendiri teori himpunan, bahkan memuji Bolzano sebagai "pembela yang tegas" terhadap konsep takhingga aktual.

5.1. Liberalisme dan Reformasi Sosial

Bolzano adalah seorang penganut liberalisme klasik yang teguh. Ia percaya pada perlunya reformasi menyeluruh dalam sistem pendidikan, sosial, dan ekonomi untuk menciptakan masyarakat yang lebih adil dan damai. Pandangan-pandangan ini, yang ia yakini dapat mengarahkan kepentingan nasional menuju koeksistensi harmonis daripada konflik bersenjata, dianggap terlalu liberal oleh otoritas Austria pada masanya. Komitmennya terhadap reformasi sosial ini bahkan membuatnya membayangkan sebuah negara yang berlandaskan pada prinsip-prinsip komunisme Saint-Simonian.

5.2. Pasifisme

Bolzano secara vokal menentang perang dan militerisme. Ia menganggap militerisme sebagai pemborosan sosial yang besar dan perang sebagai konflik yang tidak perlu. Ia menganjurkan penyelesaian konflik secara damai dan reformasi sistem yang akan mempromosikan perdamaian di antara bangsa-bangsa. Sikap anti-perangnya ini merupakan bagian integral dari pandangan liberal dan reformisnya.

6.1. Warisan Matematika

Penemuan dan teorema matematika Bolzano, seperti Teorema Bolzano-Weierstrass dan bukti analitis murni untuk teorema nilai antara, menjadi dasar penting bagi pengembangan matematika modern. Karyanya tentang ketelitian dalam analisis matematika, termasuk definisi limit (ε-δ) dari limit, sangat memengaruhi matematikawan kemudian seperti Karl Weierstrass. Meskipun banyak karyanya tetap dalam bentuk manuskrip dan memiliki sirkulasi yang sangat kecil, penemuan kembali artikel-artikel jurnalnya yang hilang oleh Otto Stolz pada tahun 1881 membantu memperkenalkan kembali kontribusinya kepada dunia matematika. Karyanya Paradoxien des Unendlichen juga sangat dikagumi oleh para logikawan terkemuka dan berkontribusi pada pengembangan konsep takhingga aktual.

6.2. Pengaruh Filosofis

Pada awalnya, dampak pemikiran Bolzano terhadap filsafat tampak kecil. Namun, karyanya ditemukan kembali oleh Edmund Husserl dan Kazimierz Twardowski, yang keduanya adalah murid Franz Brentano. Melalui mereka, Bolzano menjadi pengaruh formatif yang signifikan bagi perkembangan fenomenologi dan filsafat analitik. Husserl sendiri bahkan memuji Bolzano sebagai "salah satu logikawan terbesar sepanjang masa" dalam karyanya Logical Investigations. Lingkaran teman dan murid yang mengelilingi Bolzano, yang dikenal sebagai Lingkaran Bolzano, turut menyebarkan pemikirannya. Selain itu, Alois Höfler, seorang mantan murid Brentano, menciptakan "mata rantai yang hilang antara Lingkaran Wina dan tradisi Bolzano di Austria", menunjukkan kesinambungan pengaruhnya.